一個神奇的公式泰勒公式常用的8個公式 _生活經(jīng)驗

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如何推廣很多我們熟知的無窮級數(shù)？回想一下幾何級數(shù)：

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這個級數(shù)只在x的絕對值小于1時收斂。
還要注意，如果兩邊同時減去1，就得到：

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設0 < r < 1 ，則代入復指數(shù)如下：

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如果在兩邊對x積分，我們會得到右邊的級數(shù)它推廣了調(diào)和級數(shù)（除了r），因為我們需要級數(shù)收斂而存在。
如果我們使用歐拉公式我們可以把復指數(shù)變換成它的三角實部和復部，通常的技巧是分子和分母乘以分母的復共軛來分離實部和復部。
當我們這樣做的時候，我們得到：

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如果我們對x積分，然后對級數(shù)做同樣的運算，我們得到以下結(jié)果：

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現(xiàn)在到了有趣的部分。注意，在左邊，如果我們讓r→1，并把它分成實部和復部，那么對于x的特定值具有收斂性。
因此，讓r→1，兩邊同時乘以2πi，得到：

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這在0<x<1時成立。
這里我們用了sin的倍角公式。

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我們用歐拉恒等式展開左邊的級數(shù) 。然后我們有兩個公式。對于正弦級數(shù)，我們得到：

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將x=1/2代入這個公式，得到常數(shù)項π/2 。我們現(xiàn)在可以表述我們新發(fā)現(xiàn)的公式：

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在正弦公式中，如果我們設x = 1/4，我們得到交替級數(shù) 1 - 1/31/5 - 1/7??? = π/4，這是一個非常著名的公式。它讓我們以一種非常簡單的方式來近似π，當然，這是令人驚訝的，因為在這個級數(shù)中沒有圓出現(xiàn) 。
在余弦公式中，如果我們令x = 1/2，我們得到t 1 - 1/21/3 - 1/4? ? ? = ln(2) 。這是另一個著名的結(jié)果。這個級數(shù)叫做交替調(diào)和級數(shù) 。
如果在余弦級數(shù)中設x = 1/4會怎樣？然后我們得到：

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看看公式是否一致。
如果我們把x = 1/4代入右邊的表達式，我們得到：

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這當然與上面的一致。
我們可以用歐拉恒等式把這兩個公式放到一個公式里。得到：

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在我看來，這是一個非常神奇的公式！
但這還不是全部。
如果我們對sin級數(shù)對x積分，有趣的事情就發(fā)生了。
讓我們試一試。

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請注意，這是一個著名的巴塞爾問題（1650年提出），歐拉在1734年解決了它。
總結(jié)一下結(jié)果：

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注意，即使x = 0或x = 1也是正確的。然而，它在這個區(qū)間之外并不成立。另外，請注意余弦函數(shù)的對稱性表現(xiàn)為從0到1的拋物線x（x-1）的對稱性。
這種方法可以推廣到黎曼ζ函數(shù)的其它特殊值。不幸的是，對余弦級數(shù)公式的右邊積分有點困難，但這并不意味著我們不能用這種方法進行分析。
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一個神奇的公式 泰勒公式常用的8個公式

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