什么是傅立葉變換，什么是傅里葉變換 _什么

什么是傅立葉變換
傅立葉變換表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。傅里葉變換可以將原來難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜），可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào) 。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅里葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。
"任意"的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的.線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：
1、傅里葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子。
【什么是傅立葉變換，什么是傅里葉變換】2、傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似。
3、正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方。
什么是傅里葉變換在頻域中是離散形式。
傅立葉變換，表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅立葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅立葉變換和離散傅立葉變換。最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具被提出的。

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相關(guān)定義
1、傅里葉變換屬于諧波分析。
2、傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。
3、正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì) ，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來獲取。
4、卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段。
以上內(nèi)容參考：
什么是傅里葉變換傅里葉變換，最牛的算法之一，廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、信號(hào)處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域。有人說，看懂了傅里葉，也就看懂了世界，能改變一個(gè)人對(duì)世界的認(rèn)知。
這里我們不深究其中，無數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，僅為大眾簡(jiǎn)單科普一下傅里葉變換是什么。傅里葉變換最精彩之處就是能夠?qū)⑿盘?hào)在時(shí)域與頻域之間進(jìn)行變換，因此我們先解釋一下什么是時(shí)域和頻域。
①時(shí)域
時(shí)域（Time domain）是描述數(shù)學(xué)函數(shù)或物理信號(hào)對(duì)時(shí)間的關(guān)系，例如一個(gè)信號(hào)的時(shí)域波形可以表達(dá)信號(hào)隨著時(shí)間的變化。比如下面這個(gè)時(shí)域圖， 1秒內(nèi)反復(fù)振動(dòng)了5次，頻率是5，最大振幅是1，整圖描述的是每一個(gè)時(shí)刻的信號(hào)值：

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②頻域
頻域（frequency domain）是描述信號(hào)在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標(biāo)系，頻域圖顯示了在一個(gè)頻率范圍內(nèi)每個(gè)給定頻帶內(nèi)的信號(hào)量。上面的時(shí)域圖用頻域表示，則是下圖。橫坐標(biāo)表示頻率，縱坐標(biāo)表示振幅。這個(gè)圖表示：這里面有一段波，頻率為5，振幅為1 。

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另外，頻域表示還可以包括每個(gè)正弦曲線的相位，以便能夠重新組合頻率分量以恢復(fù)原始時(shí)間信號(hào) 。不同相位決定了波的位置，從頻域信息復(fù)原到時(shí)域信息，相位非常重要。

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紅色和藍(lán)色正弦波具有θ的相位差
傅里葉變換
先亮一下通用傅里葉公式。（“公式恐懼癥”請(qǐng)閉眼滑過...)

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傅里葉變換，從定義上講，表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)或者它們的積分的線性組合。簡(jiǎn)單來說，它貫穿了時(shí)域與頻域，能夠?qū)⑷魏涡问降闹芷谛孕盘?hào)無限拆解，分為多個(gè)有規(guī)律的簡(jiǎn)單正弦波信號(hào) 。（正弦波是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影，所以頻域的基本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓。）

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傅里葉級(jí)數(shù)方波圓動(dòng)畫
例如下面這種也是有規(guī)律的波形，可以拆解為若干組波的疊加。

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也就是說，傅里葉變換能夠?qū)⒁欢螐?fù)雜的波，分解成多段規(guī)律的、單純波的集合。然后，對(duì)這些規(guī)律的波從頻域進(jìn)行描述，就有了整段波的譜線圖。

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如下圖，時(shí)域觀測(cè)的方波信號(hào)是若干個(gè)正弦信號(hào)的疊加，當(dāng)以時(shí)間為橫軸時(shí)可以看到這些信號(hào)累加后得到的時(shí)域圖像，而換一個(gè)角度，當(dāng)以頻率為坐標(biāo)時(shí)，則得到的是一個(gè)個(gè)不同頻率的脈沖。信號(hào)從時(shí)域到頻域的轉(zhuǎn)換，則是傅里葉正變換，從頻率到時(shí)域的表示則是傅里葉逆變換。因此，時(shí)域和頻域是以完全不同的角度表示相同的信息。（突然想吟詩(shī)一首：橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同...）

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很多在時(shí)域看似不可能做到的操作，在頻域卻很容易，這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號(hào)處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕松的做到。例如在圖像處理中，低頻項(xiàng)決定了圖像的整體形狀，高頻項(xiàng)則提供了細(xì)節(jié)，通過控制濾波器可以過濾掉不同頻率的信息，從而決定輸出的圖像效果。
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