三角形外心的有關結論，三角形外心有哪些性質和定理? _三角形

三角形外心的有關結論
三角形外心的有關結論：
（1）銳角三角形的外心在三角形內；
（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；
（3）鈍角三角形的外心在三角形外；
（4）等邊三角形外心與內心為同一點。
三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心。三角形外接圓的圓心也就是三角形三邊垂直平分線的交點，三角形的三個頂點就在這個外接圓上。
三角形外心有哪些性質和定理?三角形的五心
一定理
重心定理：三角形的三條中線交于一點，這點到頂點的
離是它到對邊中點距離的2倍。該點叫做三角形的重心。
外心定理：三角形的三邊的垂直平分線交于一點。該點叫做三角形的外心。
垂心定理：三角形的三條高交于一點。該點叫做三角形的垂心。
內心定理：三角形的三內角平分線交于一點。該點叫做三角形的內心。
旁心定理：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交于一點。該點叫做三角形的旁心。三角形有三個旁心。
三角形的重心、外心、垂心、內心、旁心稱為三角形的五心。它們都是三角形的重要相關點。
三角形外心的性質總結向量三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等；銳角三角形的外心在三角形內，鈍角三角形的外心在三角形外，直角三角形的外心與斜邊的中點重合；外心是三角形三邊垂直平分線的交點。
內心
（1）定義：三角形的內心是三角形三條角平分線的交點（或內切圓的圓心）。
（2）三角形的內心的性質
①三角形的三條角平分線交于一點，該點即為三角形的內心。
②三角形的內心到三邊的距離相等，都等于內切圓半徑r 。
外心
（1）定義：三角形的外心是三角形三條垂直平分線的交點（或三角形外接圓的圓心）。
（2）三角形的外心的性質
①三角形三條邊的垂直平分線的交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心。
②三角形的外接圓有且只有一個，即對于給定的三角形，其外心是唯一的，但一個圓的內接三角形卻有無數個，這些三角形的外心重合。
重心
（1）三角形的三條邊的中線交于一點。該點叫做三角形的重心。
（2）三角形的重心的性質
①重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1 。
②重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
③重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
數學三角形重心,垂心, 內心,外心三角形的內心就是三內角角平分線的交點；三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心；三角形的外心就是三邊中垂線的交點。
外心的性質：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為該三角形的外心。
2、若O是△ABC的外心，則∠BOC=2∠A（∠A為銳角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。
4、外心到三頂點的距離相等

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內心定理
1、三角形的三條內角平分線交于一點。該點即為三角形的內心。
2、直角三角形的內心到邊的距離等于兩直角邊的和與斜邊的差的二分之一。
3、P為ΔABC所在空間中任意一點，點0是ΔABC內心的充要條件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).
4、O為三角形的內心，A、B、C分別為三角形的三個頂點，延長AO交BC邊于N ，則有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
三角形外心的性質定理證明外心定理：三角形的三條邊的垂直平分線所相交于一點，該點叫做三角形的外心，也是其三角形外界圓的圓心。

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根據不同的三角形類型可以推斷其所在位置。
（1）銳角三角形的外心在三角形內。
（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合。
（3）鈍角三角形的外心在三角形外。
（4）等邊三角形內心、外心、重心三心合一，都是該三角形的中心位置

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另外三角形外心到其三角形的頂點的距離相等，因此在其向量有這樣的性質：
向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC為三角形三個頂點，P為外心）
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