圓周角定理 _生活經(jīng)驗(yàn)

什么是圓周角定理？圓周角定理：同弧或等弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。
半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓周角定理是什么?可以得到什么推論定理：在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.推論：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角,九十度的圓周角所對(duì)的弦是直徑.在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓周角相等,它們所對(duì)的弧一定相等

圓周角定理意思圓周角定理詳解圓周角的定義頂點(diǎn)在圓周上，并且兩邊為圓的兩條弦的角叫做圓周角（angle in a circular segment）（Inscribed Angle）。圓周角的頂點(diǎn)在圓上，它的兩邊為圓的兩條弦。圓周角定理在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。圓周角定理證明求證：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半．已知：⊙O中， ∠AOB和∠ACB分別是所對(duì)的圓心角和圓周角．求證：∠AOB=2∠ACB證明：當(dāng)圓心O在∠ACB的一條邊上時(shí)，如圖(1)，證明方法同課本，這里不在贅述．當(dāng)圓心O在∠ACB的外部時(shí)，如圖(2)．聯(lián)結(jié)OC．∵OC=OB，OC＝OA∴∠OCA=∠OAC ， ∠OCB=∠OBC∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB∴∠AOB=2∠ACB；當(dāng)圓心O在∠ACB的內(nèi)部時(shí)，如圖(3)．聯(lián)結(jié)OC．∵OC=OB，OC＝OA∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)∵∠OCA+∠OCB =∠ACB∴∠AOB=2∠ACB ；綜上所述，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半圓周角定理推論①圓周角度數(shù)定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。②同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等圓周角所對(duì)的弧也相等。（不在同圓或等圓中其實(shí)也相等的。注：僅限這一條。[2]）③半圓（或直徑）所對(duì)圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。④圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。⑤在同圓或等圓中，圓周角相等弧相等弦相等。

圓周角定理同弧或等弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半

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圓周角定理的定理內(nèi)容圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。
圓周角定理是什么圓周角定理證明是中考必考幾何題型，是初中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)之一，為便于同學(xué)們理解加深印象，給出動(dòng)態(tài)演示圖。
圓周角定理證明圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。定理證明已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對(duì)弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.證明：情況1：如圖1，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)：圖1∵OA、OC是半徑解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC情況2：如圖2, ，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D圖2∵OA、OB、OC是半徑解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC情況3：如圖3 ，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)：圖3連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D連接OA,OB 。解：∵OA、OB、OC、是半徑∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC圓心角等于180度的情況呢？看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，顯然因?yàn)椤螼CA=∠OAC=∠BOC/2∠OCB=∠OBC=∠AOC/2所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠ABC）/2=90度所以2∠ACB=∠AOC圓心角大于180度的情況呢？看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB ，只要延長(zhǎng)CO交園于點(diǎn)E，由圓心角等于180度的情況可知∠CAE=∠CBE=90度所以∠ACB+∠AEB=180度，即∠ACB=180度-∠AEB由情況2可知：∠AOB=2∠AEB所以360度-∠AOB=2（180度-∠AEB）=2∠ACB
圓的弦切角定理與圓周角定理有什么不同弦切角的定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦角。
弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。
如圖
AB是○O的切線， AC是弦，∠BAC就是弦切角，∠BAC=∠D
圓周角定義
頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角
圓周角定理
一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

圓心角定理圓周角定理圓心角定理：在同圓等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)弦的弦心距也相等．
圓周角定理：①圓周角度數(shù)定理,圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半
②同圓或等圓中,圓周角等于它所對(duì)的弧上的圓心角的一半
③同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,相等圓周角所對(duì)的弧也相等
④半圓（或直徑）所對(duì)圓周角是直角,90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑
⑤圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角.

圓周角定理如圖所示
怎樣證明圓周角定理圓周角度數(shù)定理的另一種證明方法
圓周角度數(shù)定理是圓一章的一個(gè)重要的定理，它是解決和圓有關(guān)的角的問(wèn)題的重要依據(jù)，這個(gè)定理的證明北京版數(shù)學(xué)教材中給出了一種證明方法，這種證明方法主要用的是外角方面的知識(shí)，老師們?cè)诮虒W(xué)中多是仿照書上的方法進(jìn)行證明，而很少去探討和思考別的證明方法，下面給出用三角形內(nèi)角和證明這個(gè)定理的方法，供大家參考．
求證：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半．
已知：⊙o中， ∠aob和∠acb分別是
所對(duì)的圓心角和圓周角．
求證：∠aob=2∠acb
證明：當(dāng)圓心o在∠acb的一條邊上時(shí)，如圖(1) ，證明方法同課本，這里不在贅述．
當(dāng)圓心o在∠acb的外部時(shí)，如圖(2)．聯(lián)結(jié)oc．
∵oc=ob，oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180°，∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=180°-2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aoc-∠boc
=2(∠ocb
-∠oca)
∵∠aoc-∠boc=∠aob，∠ocb
-∠oca=∠acb
∴∠aob=2∠acb；
當(dāng)圓心o在∠acb的內(nèi)部時(shí)，如圖(3)．聯(lián)結(jié)oc．
∵oc=ob ， oc＝oa
∴∠oca=∠oac，∠ocb=∠obc
∵∠oca+∠oac+∠aoc=180° ， ∠ocb+∠obc+∠boc=180°
∴∠aoc=180°-∠oca-∠oac，∠boc=180°-∠ocb-∠obc
∴∠aoc=180°-2∠oca，∠boc=180°-2∠ocb
∵∠aoc+∠boc+∠aob
=360°
∴∠aob=360°-∠aoc-∠boc
∴∠aob=360°-180°+2∠oca-180°+2∠ocb
∴∠aob=2(∠oca+∠ocb)
∵∠oca+∠ocb
=∠acb
∴∠aob=2∠acb
；
綜上所述，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

這個(gè)怎么證明圓周角定理延長(zhǎng)BO交圓O于A'點(diǎn)，連結(jié)CA'，易知角BOC是三角形OA'C的外角，又由于三角形OA'C是等腰三角形，容易得到角BOC等于2倍的角OA'C，這里角OA'C和角BAC同弧，故角OA'C等于角BAC，圓周角定理得證！

怎樣證明圓周角定理有無(wú)簡(jiǎn)便方法?圓周角等于同弧所對(duì)圓心角的一半
等弧所對(duì)的弦長(zhǎng)相等
半徑都相等
所以可以用“邊邊邊”證明三角形全等
從而證明等弧所對(duì)的圓心角相等
所以可以證明等弧所對(duì)的圓周角相等

圓周角定理的證明詳細(xì)過(guò)程😳詳解，不會(huì)

圓周角定理在證明過(guò)程中用到了哪些思想方法延長(zhǎng)BO交圓O于A'點(diǎn)，連結(jié)CA'，易知角BOC是三角形OA'C的外角，又由于三角形OA'C是等腰三角形，容易得到角BOC等于2倍的角OA'C，這里角OA'C和角BAC同弧，故角OA'C等于角BAC ，圓周角定理得證！

寫出圓心角，圓周角與弦及其之間關(guān)系的定理.圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系是論證同圓或等圓中弧相等、角相等及線段相等的主要依據(jù)，同時(shí)圓心角和它所對(duì)的弧的對(duì)應(yīng)相等關(guān)系，并由此得圓心角的度數(shù)和它所對(duì)弧的度數(shù)相等．
二、
圓周角
l、圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角．
它有兩個(gè)特征：（1）角的頂點(diǎn)在圓上，（2）角的兩邊都與圓相交．兩者缺一不可．如圖中的角均不是圓周角．
2．定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．
3．推論①：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．
推論②：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
推論③：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
圓周角定理及其推論是進(jìn)一步推導(dǎo)圓其他重要性質(zhì)的理論根據(jù)，而且對(duì)于角的計(jì)算，推證角相等、弧相等、弦相等，判定相似三角形、直角三角形等平面幾何中常見(jiàn)問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法，所以它是本單元的重點(diǎn)；圓周角定理的證明要用到分類討論，所以也是難點(diǎn)．

求證：若一條弧所對(duì)的角是這條弧所對(duì)圓心角的一半,則這個(gè)角是圓周角。（即圓周角定理的逆定理）求證：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半．

已知：⊙O中， ∠AOB和∠ACB分別是所對(duì)的圓心角和圓周角．

求證：∠AOB=2∠ACB

證明：當(dāng)圓心O在∠ACB的一條邊上時(shí)，如圖(1)，證明方法同課本，這里不在贅述．

當(dāng)圓心O在∠ACB的外部時(shí)，如圖(2)．聯(lián)結(jié)OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180° ， ∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

當(dāng)圓心O在∠ACB的內(nèi)部時(shí) ，如圖(3)．聯(lián)結(jié)OC．

∵OC=OB ， OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC ， ∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA，∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

綜上所述，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

圓周角定理的內(nèi)容一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理

推論有：
1.一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半；
2.圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧度數(shù)的一半；
3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。
4.半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角。
5.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。
注意：在圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角有兩個(gè)，一個(gè)是優(yōu)弧所對(duì)的角，一個(gè)是劣弧所對(duì)的角。

等對(duì)等定理是什么?垂徑定理是什么?圓周角定理是什么?圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

圓周角定理的定理證明

文章插圖

圓周角定理：一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)圓心角的一半證明：已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對(duì)弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.證明：情況1：如圖1，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線上時(shí)：∵OA、OC是半徑解：∴OA=OC∴∠BAC=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOC是△AOC的外角∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC圖1情況2：如圖2,，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半徑解：∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對(duì)等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC圖2情況3：如圖3，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D連接OA,OB 。解：∵OA、OB、OC、是半徑∴OA=OB=OC∴∠BAD=∠ABO（等邊對(duì)等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC從而得證：∠BOC=2∠BAC.圖3擴(kuò)展資料：定理推論1.一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半;2.圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧度數(shù)的一半;3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。4.半圓(直徑)所對(duì)的圓周角是直角。5.90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。6.等弧對(duì)相等的圓周角。(因?yàn)橄嗟鹊幕≈挥幸粋€(gè)圓心角)注意:在圓中，同一條弦所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè) 。
圓周角定理有哪些?定理
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半。

推論
半圓（直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓周角定理D如果在圓上，且是BC中點(diǎn)，那么是一定相等的。SAS全等

中考數(shù)學(xué)圖形的性質(zhì)：圓周角定理及其推論？1、圓周角頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、圓內(nèi)接四邊形在同圓內(nèi)，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一個(gè)圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形（1）.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（2）.圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

圓周角定理推論就是老師回答時(shí)候該怎么答很急啊定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等
推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑
推論3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

圓周角定理及推論滲透了什么數(shù)學(xué)思想方法化歸思想
請(qǐng)問(wèn)有哪幾個(gè)圓周角A、B、E3個(gè)點(diǎn)，各有一個(gè)圓周角，D點(diǎn)和C點(diǎn)各有三個(gè)圓周角，所以加在一起一共應(yīng)該有九個(gè)圓周角。

圓周角定理推論解：（1）AB,AC之間的大小關(guān)系為：AB=AC ，
證明如下：
∵AB是圓O的直徑
∴∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角為90°）
又∵D是BC的中點(diǎn)
∴AD垂直平分BC
∴AB=AC（線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩短點(diǎn)的距離相等）

（2）連BE，
∵AB是圓O的直徑
∴∠AEB=90°，即 BE⊥AC 。
若滿足點(diǎn)E一定是AC的中點(diǎn)，
則BE垂直平分AC
∴BA=BC
又∵AB=AC已證，
∴△ABC還需滿足除AB=AC以外，
還需滿足BC=BA 或 ∠B = 60°，
點(diǎn)E才一定是AC的中點(diǎn)

圓周角定理的三個(gè)推論圓周角定理的推論：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.
其他推論
①圓周角度數(shù)定理，圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半
②同圓或等圓中，圓周角等于它所對(duì)的弧上的圓心角的一半
③同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，相等圓周角所對(duì)的弧也相等
④半圓（或直徑）所對(duì)圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑
⑤圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

數(shù)學(xué)圓的定理、推論初中：
1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
2垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧
推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧
推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
3圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形
4圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
5圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
7同圓或等圓的半徑相等
8到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半
徑的圓
9定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦
相等，所對(duì)的弦的弦心距相等
10推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等
11定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ，并且任何一個(gè)外角都等于它
的內(nèi)對(duì)角
12①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
13切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
14切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑
15推論1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)
16推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心
17切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，
圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
18圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角
20推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
30相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積
相等
31推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項(xiàng)
32切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割
線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)
33推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等
34如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
35①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)
36定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
37定理把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
38定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓
39正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形
41正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長(zhǎng)
42正三角形面積√3a／4 a表示邊長(zhǎng)
43如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為
360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
44弧長(zhǎng)計(jì)算公式：L=n兀R／180
45扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46內(nèi)公切線長(zhǎng)= d-(R-r) 外公切線長(zhǎng)= d-(R+r)
47定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
48推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等
49推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所
對(duì)的弦是直徑
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
52圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)
53圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧長(zhǎng)公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r 1不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。
2垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧
推論1 ①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧
③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧
推論2 圓的兩條平行弦所夾的弧相等
3圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形
4圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合
5圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合
6圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合
7同圓或等圓的半徑相等
8到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半
徑的圓
9定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦
相等，所對(duì)的弦的弦心距相等
10推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩
弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等
11定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ，并且任何一個(gè)外角都等于它
的內(nèi)對(duì)角
12①直線L和⊙O相交 d＜r
②直線L和⊙O相切 d=r
③直線L和⊙O相離 d＞r
13切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線
14切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑
15推論1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)
16推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心
17切線長(zhǎng)定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，
圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角
18圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等
19弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角
20推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等
30相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積
相等
31推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的
兩條線段的比例中項(xiàng)
32切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割
線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)
33推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等
34如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上
35①兩圓外離 d＞R+r ②兩圓外切 d=R+r
③兩圓相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R＞r) ⑤兩圓內(nèi)含d＜R-r(R＞r)
36定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦
37定理把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
38定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓
39正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于（n-2）×180°／n
40定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形
41正n邊形的面積Sn=pnrn／2 p表示正n邊形的周長(zhǎng)
42正三角形面積√3a／4 a表示邊長(zhǎng)
43如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，由于這些角的和應(yīng)為
360° ，因此k×(n-2)180°／n=360°化為（n-2）(k-2)=4
44弧長(zhǎng)計(jì)算公式：L=n兀R／180
45扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
46內(nèi)公切線長(zhǎng)= d-(R-r) 外公切線長(zhǎng)= d-(R+r)
47定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半
48推論1 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等
49推論2 半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所
對(duì)的弦是直徑
50正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圓半徑
51余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是邊a和邊c的夾角
52圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圓心坐標(biāo)
53圓的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
54弧長(zhǎng)公式 l=a*r a是圓心角的弧度數(shù)r >0 扇形面積公式 s=1/2*l*r

高中：
一、有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理：
在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。如果一條弧的長(zhǎng)是另一條弧的2倍，那么其所對(duì)的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。

二、有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理
①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；
②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。
③R=2S△÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長(zhǎng)）
④兩相切圓的連心線過(guò)切點(diǎn)（連心線：兩個(gè)圓心相連的直線）
⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任作兩弦AB ， CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn) 。

三、如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。
四、圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù) 。
五、圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。
六、弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。
七、圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。
八、圓外角的度數(shù)等于這個(gè)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。
九、有關(guān)切線的性質(zhì)和定理
圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個(gè)圓的切線。
切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等，那點(diǎn)與圓心的連線平分切線的夾角。

附：〖有關(guān)圓的計(jì)算公式〗
1.圓的周長(zhǎng)C=2πr=πd
2.圓的面積S=πr^2;
3.扇形弧長(zhǎng)l=nπr/180
4.扇形面積S=(nπr^2)/360=lr/2(l為扇形的弧長(zhǎng)
5.圓錐側(cè)面積S=πrl 6.圓錐側(cè)面展開(kāi)圖（扇形）的圓心角n=360r/l(r是底面半徑,l是母線長(zhǎng))

初中圓的定理1、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩

弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

2、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

3、垂徑定理：垂直弦的直徑平分該弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。

推論1： ①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

②弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

4、切線之判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于該半徑的直線是圓的切線。

5、切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，他們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線平分這兩條切線的夾角。

6、公切線長(zhǎng)定理：如果兩圓有兩條外公切線或兩條內(nèi)公切線，那么這兩條外公切線長(zhǎng)相等，兩條內(nèi)公切線長(zhǎng)也相等。如果他們相交，那么交點(diǎn)一定在兩圓的連心線上。

7、相交弦定理：圓內(nèi)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的乘積相等。

8、切割線定理：從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線和一條割線，則切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) 。

9、割線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)向圓引兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

10、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑

推論1 ：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心

11、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

12、定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

13、定理：把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形

14、定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

15、定理：任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

16、定理：正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

17、定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

18、(d是圓心距， R、r是半徑)

①兩圓外離 d>R+r

②兩圓外切 d=R+r

③兩圓相交 R-r<dr)

④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)

⑤兩圓內(nèi)含dr)

圓周角定理怎么證明【圓周角定理】圓周角度數(shù)定理的另一種證明方法

圓周角度數(shù)定理是圓一章的一個(gè)重要的定理，它是解決和圓有關(guān)的角的問(wèn)題的重要依據(jù)，這個(gè)定理的證明北京版數(shù)學(xué)教材中給出了一種證明方法，這種證明方法主要用的是外角方面的知識(shí) ，老師們?cè)诮虒W(xué)中多是仿照書上的方法進(jìn)行證明，而很少去探討和思考別的證明方法，下面給出用三角形內(nèi)角和證明這個(gè)定理的方法，供大家參考．

求證：同一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)圓心角度數(shù)的一半．

已知：⊙O中，∠AOB和∠ACB分別是所對(duì)的圓心角和圓周角．

求證：∠AOB=2∠ACB

證明：當(dāng)圓心O在∠ACB的一條邊上時(shí)，如圖(1) ，證明方法同課本，這里不在贅述．

當(dāng)圓心O在∠ACB的外部時(shí)，如圖(2)．聯(lián)結(jié)OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC ， ∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180°，∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC ， ∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA ， ∠BOC=180°-2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =180°-2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOC-∠BOC =2(∠OCB -∠OCA)

∵∠AOC-∠BOC=∠AOB，∠OCB -∠OCA=∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB；

當(dāng)圓心O在∠ACB的內(nèi)部時(shí) ，如圖(3)．聯(lián)結(jié)OC．

∵OC=OB，OC＝OA

∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC

∵∠OCA+∠OAC+∠AOC=180° ， ∠OCB+∠OBC+∠BOC=180°

∴∠AOC=180°-∠OCA-∠OAC，∠BOC=180°-∠OCB-∠OBC

∴∠AOC=180°-2∠OCA ， ∠BOC=180°-2∠OCB

∵∠AOC+∠BOC+∠AOB =360°

∴∠AOB=360°-∠AOC-∠BOC

∴∠AOB=360°-180°+2∠OCA-180°+2∠OCB

∴∠AOB=2(∠OCA+∠OCB)

∵∠OCA+∠OCB =∠ACB

∴∠AOB=2∠ACB ；

綜上所述，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半