數列求和公式_等比數列求和公式是什么？ _生活經驗

自然數平方數列和立方數列求和公式怎么推導平方和的推導利用立方公式：
(n+1)³-n³=3n²+3n+1 ①
記Sn=1²+2²+....+n²， Tn=1+2+..+n=n(n+1)/2
對①式從1~n求和，得：
∑(n+1)³-n³=3∑n²+3∑n+∑1
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
這就得到了Sn=n(n+1)(2n+1)/6
類似地，求立方和利用4次方公式：
(n+1)^4-n^4=4n³+6n²+4n+1
例如：
2^3= (1+1)^3 =1^3+3*1^2+3*1+1
3^3= (2+1)^3 =2^3+3*2^2+3*2+1
4^3= (3+1)^3 =3^3+3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3=(n+1)^3=n^3+3*n^2+3n+1
去掉中間步，將右邊第一項移到左邊得：
2^3 - 1^3=3*1^2+3*1+1
3^3 - 2^3=3*2^2+3*2+1
4^3 - 3^3=3*3^2+3*3+1
. . . . . .
(n+1)^3-n^3=+3*n^2+3n+1
兩邊分別相加
(n+1)^3-1^3=3（1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2)+3(1+2+3+4+...+n)+n
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=[(n+1)^3-1^3-3(1+2+3+4+...+n)-n]/3
整理即得
1^2+2^2+3^2+4^2+...... +n^2=n*(n+1)(2n+1)/6
擴展資料：
常見數列求和的方法：
1、公式法：
等差數列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比數列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、錯位相減法
適用題型：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式 { an }、{ bn }分別是等差數列和等比數列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3、裂項法
適用于分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加時抵消中間的許多項。
參考資料來源：百度百科-數列求和斐波那契數列求和公式1、奇數項求和

文章插圖

擴展資料：
斐波那契數列的應用：
1、生物應用
斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，如果選擇樹干上的一片葉子，將其計數為零，然后按順序（假設沒有損壞）計數葉子，直到達到適合這些葉子的位置，它們之間的葉子數基本上是斐波那契數。從一個位置移動到下一個位置的葉子稱為周期。
葉子在一個周期內旋轉的圈數也是斐波那契數。一個循環中葉數與葉旋轉圈數之比稱為葉序比（源自希臘語，意為葉的排列）。大多數葉序比是斐波那契數。
2、自然界中的應用
自然界中的斐波那契數列斐波那契數列在自然科學的其他分支，有許多應用。例如，樹木的生長，由于新的枝條，往往需要一段時間的“休息”時間來自己生長，才能使新的枝條發芽。因此，例如，幼苗每隔一年生長一個新的枝條。
第二年，新樹枝“休息”，老樹枝仍在發芽。之后，老枝和老枝“休憩”一年的同時發芽，而當年的新枝則在第二年“休息” 。這樣，一棵樹每年的分枝數就構成了斐波那契數列。這個定律是生物學中著名的“魯德維格定律” 。
參考資料來源：百度百科-斐波那契數數列求和 i的平方相加（1+4+9+16+.......n的平方）...1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
證明如下：排列組合法）
由于

文章插圖
擴展資料
1、一般的數列求和問題應從通項公式入手，若無通項公式，應先求通項公式，然后根據通項公式的特點選擇合適的方法求和。
2、解決非等差、等比數列的求和問題主要有兩種方法，一為將非等差、等比數列問題轉化為等差、等比數列問題；二為不能轉化為等差、等比數列的問題，可以考慮利用倒序相加法、錯位相減法、裂項法、分組求和法等進行求和。
3、對于等比數列的求和問題，要注意判斷公比是否為1，然后進行分類討論．等差數列的求和公式有多種形式，要注意根據已知條件選擇合適的求和公式。等比數列求和公式推導至少給出3種方法一、等比數列求和公式推導
由等比數列定義
a2=a1*q
a3=a2*q
a(n-1)=a(n-2)*q
an=a(n-1)*q 共n-1個等式兩邊分別相加得
a2+a3+...+an=[a1+a2+...+a(n-1)]*q
即 Sn-a1=(Sn-an)*q,即（1-q）Sn=a1-an*q
當q≠1時,Sn=(a1-an*q)/（1-q） (n≥2)
當n=1時也成立.
當q=1時Sn=n*a1
所以Sn= n*a1（q=1）；(a1-an*q)/（1-q） (q≠1) 。
二、等比數列求和公式推導
錯位相減法
Sn=a1+a2 +a3 +...+an
Sn*q= a1*q+a2*q+...+a(n-1)*q+an*q= a2 +a3 +...+an+an*q
以上兩式相減得（1-q）*Sn=a1-an*q
三、等比數列求和公式推導
數學歸納法
證明：（1）當n=1時，左邊=a1，右邊=a1·q0=a1，等式成立；
（2）假設當n=k（k≥1，k∈N*）時，等式成立，即ak=a1qk-1；
當n=k+1時， ak+1=ak·q=a1qk=a1·q（k+1）-1；
這就是說，當n=k+1時，等式也成立；
由（1）（2）可以判斷，等式對一切n∈N*都成立。
參考資料：百度百科詞條--等比數列求和公式無窮等比數列求和公式是？其前N項和公式為：
1、Sn=[a1（1-q^n）]/（1-q）（q≠1）
2、Sn=（a1-an×q）/（1-q）（q≠1）。
若q的絕對值大于等于1，則無窮等比數列的各項和不存在，不能用上面的公式。
例如：

文章插圖
擴展資料：
性質：
1、若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am*an=ap*aq 。
2、在等比數列中，依次每k項之和仍成等比數列。
3、若“G是a、b的等比中項”則“G^2=ab（G≠0）” 。
4、若{an}是等比數列，公比為q1，{bn}也是等比數列，公比是q2，則{a2n}，{a3n}…是等比數列。
5、若（an）為等比數列且各項為正，公比為q，則（log以a為底an的對數）成等差，公差為log以a為底q的對數。
6、等比數列前n項之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
參考資料：百度百科—無窮等比數列
等比數列求和公式如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。
（1）等比數列的通項公式是：

文章插圖
擴展資料：等比數列是指如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數的一種數列，常用G、P表示。
這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，等比數列a1≠ 0 。其中{an}中的每一項均不為0 。注：q=1 時，a n為常數列。
參考資料：等比數列公式-百度百科
等比數列求和公式是什么？求和公式

文章插圖
擴展資料
相關應用：
遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中，下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有幾盞燈。
每層塔所掛的燈的數量形成一個等比數列，公比q=2，我們設塔的頂層有a1盞燈。7層塔一共掛了381盞燈，S7=381 ，按照等比求和公式，那么有a1乘以1-2的7次方，除以1-2，等于381.能解出a1等于3. 尖頭必有3盞燈。
【數列求和公式_等比數列求和公式是什么？】參考資料來源：百度百科-等比數列求和公式